Представьте, что вы можете двигаться только влево и вправо по тонкой нити — это мир числовой оси. Если вы хотите прыгнуть вверх, нить не сможет вас удержать. Введениекомплексных чиселпохоже на добавление совершенно нового измерения вашему миру. Каждое комплексное число вида $z = a + bi$ больше не является просто точкой на числовой оси, а представляет собой координату $(a, b)$ на плоскости или вектор, исходящий из начала координат. Эта идеальная связь между «числом» и «формой» является одним из величайших прорывов в истории математики.
Алгебраическое определение и геометрическая интерпретация комплексных чисел
В профильном учебнике первой части мы изучили систему комплексных чисел. Комплексные числа состоят издействительной частиимнимой частив виде стандартного алгебраического выражения $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$).
Чтобы интуитивно понять комплексные числа, мы создаликомплексную плоскость:
- действительной оси: соответствует оси $x$, представляет действительную часть комплексного числа.
- мнимой оси: соответствует оси $y$, представляет мнимую часть комплексного числа.
- точка и комплексное число: комплексное число $z = a + bi$ взаимно однозначно соответствует точке $Z(a, b)$.
- вектор и комплексное число: комплексное число $z = a + bi$ взаимно однозначно соответствует плоскому вектору $\vec{OZ}$.
Модуль комплексного числа $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, его геометрический смысл — расстояние от точки $Z$ до начала координат на комплексной плоскости. А $|z_1 - z_2|$ — это расстояние между двумя точками.
$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$